ESPECIAL
Primer premio secundaria
Resumen del proyecto ganador
La ecuación ignaciana:
una propuesta de reflexión en matemática
El impacto de la pedagogía ignaciana en las
ecuaciones lineales y expresiones algebraicas
M atías Eduardo R. Maidana 1
Sergio Góm ez 2
En esta investigación realizada a alumnos de nivel secundario en el barrio
Santa Brígida, San Miguel Oeste (provincia de Buenos Aires) nos propusimos un
estudio sobre los errores comunes y dificultades en el aprendizaje de ecuaciones
lineales y expresiones algebraicas. Detectados los problemas e inconvenientes
de los alumnos, y luego de haber realizado un análisis crítico, se utilizaron estra
tegias metodológicas según el paradigma pedagógico ignaciano para determinar
las maneras de optimización en la enseñanza.
Álgebra - Dificultad de aprendizaje - Método de enseñanza
Solución de Problemas - Alto rendimiento
Algebra - Learning difficulty - Teaching method
Problem solving - High achievement
'Profesor de Matemática. Licenciado en la Enseñanza de la Matemática. Docente en institutos de nivel
secundario y superior. Jefe de área en el Instituto Nuestra Señora de Itati. Buenos Aires, Argentina.
E-mail: matias_maidana@ymail.com / matiasmaidana81@gmail.com
2 Profesor y Licenciado en Ciencias de la Educación. Docente en institutos de nivel secundario y
superior. Director del Instituto Nuestra Señora de Itati de San Miguel. Buenos Aires, Argentina.
E-mail: sgmvk6708@yahoo.com.ar
T>iót0<¡f04. PedayóqÚM . Año VIII, N ° 15, ab ril 2010. Pág. 127-131 727
La ecuación ignaciana: una propuesta de reflexión..
La primera impresión que recibe ia
mayoría de las personas cuando se ha
bla de matemática es de apatía. "Eso
no es para mí", "¿cómo les puede gus
tar?", "siempre mi familia tuvo proble
mas con la matemática, por lo tanto yo
también". La experiencia pesa demasia
do cuando los primeros contactos con
la matemática son con extensos ejerci
cios sin resolución aparente, figuras
inentendibles, símbolos indescifrables,
problemas. iQué problema son los pro
blemas! Fusionar la resolución de pro
blemas con el paradigma pedagógico
ignaciano nos proporcionó un punto de
vista interesante en esta investigación,
junto al desafío que matemática es una
de las áreas menos maleables para la
aplicación del paradigma y el contexto
vulnerable en el cual se implemento.
En estos tiempos, en los cuales mu
chas provincias piensan en la
implementación de una materia más al
periodo de instancias previas para evitar
la repitencia, recurrimos a los resultados
que nos brinda la realidad para demos
trar que el foco del problema y las solu
ciones no están en estas decisiones de
política educativa, sino en la didáctica.
Para, realizar una síntesis del este
contenido y poder comunicarlo de ma
nera general, diremos que una ecuación
es una igualdad en donde interviene al
menos una incógnita. Existen aquellas
que tienen solución: X+5=9 "un número
aumentado en 5 cuyo resultado sea 9"
que son las que se utilizan mayormente
como introducción en todos los años es
colares y existen las que no tienen solu
ción: X+3=X "un número aumentado en
3 cuyo resultado sea el mismo número".
Tenemos en cuenta que si bien la in
cógnita se la denomina con la letra X, pue
de tomar otra nomenclatura literal y que
usualmente todos los aprendizajes reali
zados con ecuaciones se realizan con
"pasaje de términos". Por ejemplo, en la
ecuación X+5=9, el 5 "pasa" al otro miem
bro restando, porque se encuentra su
mando. Aunque muchos aprendimos con
este simple procedimiento, matemática
mente no existe. Entonces si atribuimos
nuestro saber y conocimiento a una re
gla mnemotécnica que funcionaba, sin
poder interpretar realmente lo que pa
saba, ¿aprendimos? Con esto no quere
mos decir que no hayamos adquirido el
ejercicio y la práctica de resolución, pero
hacemos énfasis en la esencia de las
ecuaciones, en el sentido de resolverlas.
Tomando la experiencia como eje
del paradigm a, observam os inconve
nientes de operaciones, propiedades y
significados y necesitamos distinguir la
diferencia entre equivocación y error. La
equivocación supone un desarrollo dis
tinto a la respuesta correcta pero es
producto de alguna distracción por par
te del alumno, el error en cambio es pro
ducto de la falta de conceptos, estrate
gias o metodologías.
La experiencia nos proporcionó:
- En el cam po aritm ético (previo al
algebraico) obtuvimos respuestas co
rrectas que llegan al 89,3%, ubicán
dose las equivocaciones en 7,1%, los
errores 3,6% y no existe alumnos
que no resolvieron. Los alumnos más
grandes incrementan el rendimiento
en esta etapa de resolución.
- Los inconvenientes producidos en el
desarrollo aritmético continúan cuan
do se trabaja en el marco algebraico,
adicionándole los inconvenientes pro
piamente dichos que provoca el álge
ESPECIAL
bra por sí sola. Drouhard (1995) ex
presa como calculadores ciegos aque
llos alumnos que pueden manipular
las técnicas del álgebra pero no pue
den hacer referencia a alguna signifi
cación en ningún momento.
Al tener herramientas suficientes
brindadas por el estudio de campo rea
lizado, nos adentramos en el eje de la
reflexión. Allí observamos:
- La brecha entre los errores y las equi
vocaciones es estrecha, siendo supe
rados los errores a medida que los
alumnos avanzan en edad.
- A los alumnos de 12 y 13 años les
cuesta separarse de técnicas opera
torias aritméticas.
- El margen de error de la conceptuali-
zación de variable disminuye a medi
da que el alumno avanza en sus eta
pas escolares.
Los esfuerzos y actividades para
abordar de otra manera la ruptura entre
el álgebra y la aritmética como por ejem
plo traducciones de lenguajes coloquial a
simbólico o viceversa solo proporcionan
la repetición de modelos estructurados del
alumno generado por el docente.
Como hemos mencionado anterior
mente, el pasaje de términos es utiliza
do por todos los alumnos a los que se
les planteó resolver una ecuación.
No es por casualidad que al encon
trarse con ecuaciones "diferentes", con
infinitas soluciones o donde el conjunto
es vacío, no puedan determinar una con
clusión. Solamente se quedan trabados
en el proceso de la técnica de despeje.
Este análisis de los inconvenientes
detectados tendría carencia de sentido
si no se analiza la acción según el para
digma ignaciano, agregándole el apor
te de la propuesta para mejorar la edu
cación y optimizar la enseñanza.
Es necesario pensar en una cultura
de resolución de problemas, que sean
significativos, vinculando el trabajo y la
utilidad de la aritmética para algunos
problemas y la diferenciación con los
problem as algebraicos, así tam bién
como el esfuerzo y el interés para en
contrar regularidades y generalidades.
Esto aunque no parezca tangible es útil,
en tanto se aprende para la vida. Pro
pusimos 4 ejes de trabajo para una
optimización y un alto rendimiento en la
enseñanza de ecuaciones y de iniciación
en el campo algebraico:
- Tiempo: se debe considerar detener
se especialm ente al m om ento de
abordar generalidades pudiendo con
cluir favorablemente hacia el concep
to de variables.
- Reflexión: Poder detenerse a analizar
qué quiere decir la solución de una
ecuación, qué quiere decir que no ten
ga solución o tenga infinitas y como
está reflejado en la verificación pro
porciona al alumno la herram ienta
fundamental: el sentido.
- Early Algebra:3 Creemos que la fami-
liarización con objetos semióticos y la
1 Se la considera como Integración del pensamiento algebraico en la matemática escolar. Cabe destacar
que existen diversidad de autores que apoyan este concepto, entre los cuales se encuentran Socas
(1991), Kieran (1992), Carraher y Schliemann (2007).
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obtención de generalizaciones dismi
nuiría el fracaso de los alumnos cuan
do se enfrentan por primera vez con
contenidos algebraicos abruptamen
te. Sería conveniente un trabajo pa
ralelo entre el campo aritmético, fuer
tem en te desa rro llado en años
inferiores y el algebraico para la ela
boración de fórmulas.
- Imptementación: de todos los méto
dos de resolución en expresiones
algebraicas, sin cortar posibilidades
de desarrollo de estrategias por par
te del alumno. Hacer posible el cam
bio de pensamiento en los alumnos
es tarea docente y vemos que ellos
tienen la capacidad, el conocimiento
y la actualidad suficiente para poder
realizarlo.
Finalmente, nos centramos en el eje
de la evaluación, teniendo una mirada
amplia desde el inicio hasta el final de
la investigación. Con respecto a los
alumnos podemos decir que no fueron
detectados errores "graves" en el de
sarrollo del campo aritmético, ya que en
su mayoría solían tener equivocaciones
originadas por distracciones.
Los alumnos tienen dificultades con
las interpretaciones en la resolución de
problemas, ya que los más optimistas
intentan plasmar alguna idea, mientras
que el resto directamente no resuelve
alegando que no entendió el problema
o pasa al siguiente. Creemos que estos
últimos, por más que hayan entendido
el problema, no encontraron las herra
mientas necesarias para poder avanzar
en la resolución.
Cuando resuelven ecuaciones lo
hacen específicamente usando un solo
método: el pasaje de términos. Esto
encuadra debido a que al momento de
entablar relación con los docentes op
tan por enseñarla únicamente de esta
manera, alegando la simplicidad para
su resolución y la necesidad de utilizar
el tiempo de manera eficaz. Si bien el
método del pasaje no es complejo de
aprender, tam poco es de enseñarlo,
pero la sistemática utilización de este
método ocupa lugar de la interpreta
ción y formulación de resultados que
con este método no puede destacar
se, especialmente en la resolución de
problem as. Notam os esto cuando se
les presentó a los alumnos. Eran inca
paces de poder interpretar la solución
y forzaban a las operaciones para ob
tener un resultado numérico en ecua
ciones que no tenían solución o po
seían infinitas soluciones, vemos aquí
la falta de sentido.
La falta de sentido en las expresio
nes literales provoca que el alumno sea
incapaz de poder interpretar una solu
ción, por lo tanto es imposible que pue
da tomar una decisión ante un proble
ma o pueda elegir la manera más ade
cuada de proceder algorítmicamente.
Revisando los procesos, volviendo
a prestar atención y a enfocar el pen
samiento sobre los procesos mismos en
los que nos involucramos así como las
actividades realizadas y los medios uti
lizados podemos constatar que
- Los contenidos y aprendizajes apor
tan herramientas para la resolución
de problemas no solo de área de ma
temática sino también de la vida.
- La investigación y trabajo personali
zado con alumnos de contextos des
favorables como los nuestros son fun
damentales y muy enriquecedores.
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'DúilotftM, 'PectaqótficM. Año VIII, N° 15, ab ril 2010. Pág. 127-131
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Referencias bibliográficas
Carraher, D. & Schliemann, A. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. En F.
K. Lester (Ed.). Second handbook of research on mathematics teaching and learning
(pp. 669-705). Reston, Virginia: NCTM e IAP.
Drouhard, J. (1995). Blind calculators in algebra. Educational studies in mathematics,
12, 317-326.
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. En Universidad de
los Andes (Ed.) Handbook o f investigación on mathematics teaching and learning
(pp. 390-419). New York: Macmillan Publishing Company.
Socas, M. (1991). Iniciación a la enseñanza-aprendizaje de álgebra: una perspec
tiva curricular. En Segundo Simposio Internacional sobre Investigación en Educa
ción Matemática (pp. 49-79). Cuernavaca: Grupo Editorial Iberoamérica.
V ióto y o i pedayoyieoi. Año VIII, N° 15, abríI 2010. Pág. 127-131
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